微分算子谱的离散性与离散谱分析是泛函分析与偏微分方程理论中的重要课题。离散谱通常对应于微分算子的本征值问题，其特点是谱点由可数个孤立的本征值构成，且每个本征值对应的本征函数空间是有限维的。离散谱分析的核心在于研究这些本征值的分布规律、渐近行为及其与算子系数、边界条件的关联性。在量子力学中，薛定谔算子的离散谱对应束缚态能级，其离散性往往由势函数的衰减特性或紧扰动性质决定。此外，离散谱的Weyl律、本征函数的振荡性质以及谱间隙估计等问题也具有重要的物理意义和数学价值。该方向的研究常涉及变分方法、拟微分算子技术和调和分析等工具。