自伴微分算子的谱理论在数学物理和量子力学中具有重要地位。谱的离散性研究主要关注算子谱中是否存在孤立的本征值以及这些本征值的分布特性。对于定义在无界域或具有奇异势能的微分算子，其谱的离散性条件与算子系数、定义域的几何性质密切相关。经典的判别方法包括Rellich定理、Molchanov准则等，这些理论为Schrödinger算子、Laplace算子等典型微分算子的谱分析提供了有效工具。近年来，非自伴算子、随机算子等推广情形的谱离散性研究也取得了显著进展。该方向的研究成果在量子束缚态、波导理论等领域具有直接应用价值。
