调和分析是数学中的一个重要分支，主要研究函数的表示和逼近问题，特别是通过傅里叶级数和傅里叶变换等工具。它起源于对振动和弦振动问题的研究，后来逐渐发展成为研究函数空间、算子理论和偏微分方程等领域的重要工具。调和分析的核心思想是将复杂的函数分解为简单的正弦波或余弦波的叠加，从而更好地理解和分析函数的性质。它在信号处理、量子力学、图像处理等众多领域都有广泛应用。调和分析不仅与实分析、复分析紧密相关，还与泛函分析、微分几何等数学分支有深刻的联系。