厄米多项式（HermitePolynomials）是一类在数学和物理学中广泛应用的正交多项式，尤其在量子力学、概率论和数值分析等领域具有重要意义。它们由法国数学家查尔斯·厄米（CharlesHermite）命名，主要用于解决与谐振子、热传导及高斯权重相关的微分方程。###定义厄米多项式通常分为两种形式：**物理学家型**和**概率论型**。最常见的物理学家型厄米多项式(H_n(x))满足以下递推关系：1.(H_0(x)=1)2.(H_1(x)=2x)3.(H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x))其微分方程表示为：[frac{d^2H_n}{dx^2}-2xfrac{dH_n}{dx}+2nH_n=0]概率论型厄米多项式(He_n(x))则通过简单变换与物理学家型相关，常用于统计学中。###正交性厄米多项式在加权函数(e^{-x^2})下正交：[int_{-infty}^{infty}H_m(x)H_n(x)e^{-x^2},dx=sqrt{pi}2^nn!delta_{mn}]###应用1.**量子力学**：描述一维量子谐振子的波函数。2.**概率论**：用于高斯随机变量的矩生成函数。3.**数值分析**：高斯-厄米求积公式的基函数。###其他性质-生成函数：(e^{2xt-t^2}=sum_{n=0}^{infty}H_n(x)frac{t^n}{n!})-导数关系：(frac{d}{dx}H_n(x)=2nH_{n-1}(x))厄米多项式因其在正交性和微分方程中的独特性质，成为理论研究和工程计算的重要工具。
