厄米多项式（HermitePolynomials）是一类在数学物理中广泛应用的正交多项式，尤其在量子力学谐振子问题中扮演重要角色。其定义通常通过生成函数或微分方程给出：1.**生成函数定义**：厄米多项式的生成函数为[e^{2xt-t^2}=sum_{n=0}^{infty}H_n(x)frac{t^n}{n!}]其中(H_n(x))为(n)阶厄米多项式。2.**微分方程定义**：厄米多项式是以下微分方程的解：[y''-2xy'+2ny=0]其中(n)为非负整数。3.**递推关系**：厄米多项式满足递推关系：[H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x)]初始条件为(H_0(x)=1)，(H_1(x)=2x)。4.**正交性**：在权重函数(e^{-x^2})下，厄米多项式满足正交性：[int_{-infty}^{infty}H_m(x)H_n(x)e^{-x^2}dx=sqrt{pi}2^nn!delta_{mn}]其中(delta_{mn})为克罗内克δ函数。5.**物理应用**：在量子力学中，厄米多项式用于描述一维谐振子的波函数。谐振子的定态波函数可表示为：[psi_n(x)=left(frac{1}{sqrt{pi}2^nn!}right)^{1/2}H_n(x)e^{-x^2/2}]其中(x)为无量纲的位置变量。6.**其他性质**：-厄米多项式是高斯函数的高阶导数形式：[H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}]-在概率论中，与随机变量的矩生成函数相关。厄米多项式因其良好的正交性和递推性质，在数值分析、信号处理等领域也有重要应用。
