单调有界数列收敛定理是数学分析中的一个重要定理，它指出：任何单调递增且有上界的数列（或单调递减且有下界的数列）必定收敛。具体来说，如果一个数列是单调递增的并且存在一个实数M使得数列的所有项都不超过M，那么这个数列收敛于某个极限值L，且L≤M。类似地，如果一个数列是单调递减的并且存在一个实数m使得数列的所有项都不小于m，那么这个数列也收敛于某个极限值L，且L≥m。这个定理在证明数列极限存在性时非常有用，因为它避免了直接计算极限值的复杂性，只需验证数列的单调性和有界性即可。