单调有界数列收敛定理是数学分析中的一个重要定理，它指出：如果一个数列是单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么这个数列必定收敛。具体来说，对于单调递增的数列，其极限值为数列的上确界；对于单调递减的数列，其极限值为数列的下确界。这个定理不仅提供了判断数列收敛性的有效方法，还为研究函数的极限、连续性以及积分等概念奠定了基础。它在实数完备性理论中扮演着关键角色，是实数系统区别于有理数系统的重要性质之一。