广义特征向量是线性代数中的一个重要概念，用于处理矩阵无法对角化的情况。当矩阵的特征值对应的几何重数小于代数重数时，标准特征向量不足以构成完整的基，此时需要引入广义特征向量来补充基的缺失部分。广义特征向量通过求解高阶的齐次线性方程组得到，满足形如(A-λI)^kv=0的条件，其中k是大于1的整数。过渡矩阵（也称为变换矩阵）用于描述向量在不同基下的坐标变换关系。给定两个基，过渡矩阵可以将一个基下的向量坐标转换为另一个基下的坐标。具体来说，若存在基变换P，使得新基向量是旧基向量的线性组合，则P就是这两个基之间的过渡矩阵。过渡矩阵在矩阵对角化、相似变换等问题中具有重要作用，特别是在涉及广义特征向量的情况下，过渡矩阵可以帮助将矩阵化为若尔当标准形。广义特征向量与过渡矩阵密切相关，因为过渡矩阵的构造常常依赖于广义特征向量。通过选择合适的广义特征向量作为基，可以构建过渡矩阵，将原矩阵转换为更简单的形式（如若尔当块），从而简化矩阵的分析和计算。
