函数族的等度连续性与均匀连续性是数学分析中重要的概念，尤其在研究函数序列的一致收敛性和泛函分析中有广泛应用。等度连续性描述的是一个函数族中所有函数在定义域上具有"一致"的连续性。具体来说，一个函数族如果满足：对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0（仅依赖于ε而不依赖于具体的函数或点），使得族中所有函数在任意两点距离小于δ时，函数值变化都小于ε，则称该函数族是等度连续的。这个概念强调整个函数族具有协调一致的连续性。均匀连续性（或称一致连续性）则是针对单个函数的性质，指函数在整个定义域上具有一致的连续性。与普通点连续性的区别在于，均匀连续性中的δ只依赖于ε，而不依赖于定义域中的具体点。两者的主要区别在于：均匀连续性是单个函数的整体性质，而等度连续性则关注一个函数族中各函数之间连续性的协调一致性。等度连续性的概念可以看作是均匀连续性在函数族上的推广。等度连续性的重要性体现在Arzelà-Ascoli定理中，该定理给出了函数族相对紧致性的判别条件，是分析学中的基本工具之一。