勒贝格控制收敛定理是实分析中的一个重要工具，它为积分与极限的交换提供了充分条件。该定理的核心思想是：如果一列可测函数在某个测度空间上逐点收敛，并且存在一个可积的控制函数来一致地控制这列函数，那么积分与极限可以交换顺序。这个定理在概率论、调和分析、偏微分方程等领域有广泛应用。例如，在概率论中，它可以用来证明期望值与极限的可交换性；在傅里叶分析中，它帮助验证级数或积分的收敛性；在数学物理中，它常用于处理函数序列的极限行为。勒贝格控制收敛定理的强大之处在于它放宽了对函数列一致收敛的要求，仅需一个可积的控制函数，使得许多实际问题中的极限过程得以简化。