北师大版八年级上册数学第一章主要学习的内容是"勾股定理及其应用"。这一章将带领同学们探索直角三角形中三条边之间的重要关系——勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。本章首先会通过探究活动让同学们发现并验证勾股定理，然后学习如何运用这一定理解决实际问题，包括计算直角三角形的边长、判断三角形是否为直角三角形等。此外，还会介绍勾股定理的逆定理及其证明方法，并学习运用勾股定理解决一些简单的几何问题。通过本章的学习，同学们不仅能掌握勾股定理这一重要数学工具，还能培养几何直观能力和逻辑推理能力，为后续学习更复杂的几何知识打下坚实基础。