凸函数的Hadamard不等式是数学分析中的一个重要结果，它描述了凸函数在区间上的积分平均值与区间端点函数值之间的关系。该不等式在优化理论、概率论和经济学等领域有广泛应用。本文将介绍Hadamard不等式的两种经典证明方法：1.**利用凸函数定义和积分性质**：通过凸函数的基本定义，结合积分运算的性质，直接推导出不等式。2.**借助Jensen不等式**：利用Jensen不等式这一凸函数的重要工具，通过适当的变量替换和积分变换，导出Hadamard不等式。这两种方法从不同角度揭示了Hadamard不等式的本质，展现了凸函数性质的多样性和丰富性。