线性映射及其运算

线性映射及其运算是线性代数中的核心概念之一。线性映射（也称为线性变换）是指两个向量空间之间保持向量加法和标量乘法运算的映射。具体来说，给定两个向量空间V和W，一个映射T:V→W如果满足以下两个条件，则称为线性映射：1.对于任意向量u,v∈V，有T(u+v)=T(u)+T(v)（加法保持性）。2.对于任意标量k和向量v∈V，有T(kv)=kT(v)（标量乘法保持性）。线性映射的运算包括加法、标量乘法和复合运算。给定两个线性映射T和S，它们的和T+S定义为(T+S)(v)=T(v)+S(v)，标量乘法kT定义为(kT)(v)=kT(v)。此外，线性映射的复合T∘S也是一个线性映射，定义为(T∘S)(v)=T(S(v))。线性映射的矩阵表示是研究其性质的重要工具。通过选择合适的基，线性映射可以表示为矩阵，从而将抽象的映射转化为具体的矩阵运算。线性映射及其运算在数学、物理、工程和计算机科学等领域有广泛应用，例如解线性方程组、图像处理和机器学习中的特征提取等。