有理数的稠密性与可数性是数学分析、实变函数和拓扑学中的重要概念。稠密性表明在任何两个实数之间都存在有理数，这使得有理数在实数集中具有"无处不在"的特性，为逼近理论和数值计算提供了理论基础。可数性则说明有理数能与自然数建立一一对应关系，这一性质在测度论、概率论和泛函分析中有广泛应用。本文将探讨这两个基本性质在数学各领域的具体应用，包括但不限于：实数构造理论中的戴德金分割、函数逼近中的有理多项式方法、测度论中零测集的研究，以及拓扑空间的可分性证明等。通过具体实例分析，揭示有理数这两个看似简单的性质如何成为解决复杂数学问题的有力工具。