加权平均值基本不等式是数学分析中的一个重要结果，它推广了算术-几何平均不等式（AM-GM不等式），允许对不同项赋予不同的权重。该不等式表明，对于非负实数(x_1,x_2,ldots,x_n)和正权重(w_1,w_2,ldots,w_n)，其加权算术平均值不小于加权几何平均值，即：[frac{w_1x_1+w_2x_2+cdots+w_nx_n}{w_1+w_2+cdots+w_n}geqleft(x_1^{w_1}x_2^{w_2}cdotsx_n^{w_n}right)^{1/(w_1+w_2+cdots+w_n)}]分析证明通常依赖于凸函数的性质（如对数函数的凸性）或数学归纳法。通过引入适当的变量替换或归一化权重，可以简化证明过程。这一不等式在优化、概率论、信息论等领域有广泛应用，是许多理论推导和实际问题求解的基础工具。
