平面束方程是解析几何中一个重要的概念，主要用于描述通过某一条公共直线的所有平面的集合。它在解决几何问题时具有广泛的应用，特别是在确定平面方程或分析平面间关系时非常有用。**平面束方程的证明：**设两个平面π₁和π₂的方程分别为A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0和A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0。如果这两个平面相交于一条直线L，那么通过L的所有平面可以表示为这两个平面方程的线性组合，即k(A₁x+B₁y+C₁z+D₁)+l(A₂x+B₂y+C₂z+D₂)=0，其中k和l不全为零。这个方程就是平面束方程，它描述了所有包含直线L的平面。**应用举例：**1.**求通过两平面交线及某一点的平面：**例如，已知两平面x+y+z=1和2x-y+3z=2的交线L，求通过L及点(1,0,1)的平面。可以先设平面束方程为k(x+y+z-1)+l(2x-y+3z-2)=0，然后将点坐标代入，解出k和l的关系，从而确定具体平面方程。2.**确定与第三个平面垂直的平面：**例如，在上述例子中，如果需要求一个通过L且与平面x-y+z=0垂直的平面，可以利用平面束方程和垂直条件（法向量点积为零）来求解。平面束方程的应用不仅限于以上例子，还可以用于求解距离、角度等问题，是解析几何中一个强有力的工具。
