极限环是非线性动力系统中一类重要的闭合轨迹，它代表系统在相空间中的周期性运动。判断极限环的存在性和稳定性是研究非线性系统长期行为的关键问题。**存在性判断**：1.**庞加莱-本迪克松定理**：适用于二维系统，若某一区域无平衡点且轨迹始终不离开该区域，则系统至少存在一个极限环。2.**霍普夫分岔**：当系统参数变化导致平衡点稳定性改变时，可能产生极限环。**稳定性判断**：1.**线性化方法**：通过计算极限环附近轨道的弗洛凯乘数，若所有乘数模小于1，则极限环稳定。2.**李雅普诺夫函数**：构造合适的能量函数，分析系统在极限环附近的收敛性。**求解方法**：1.**数值模拟**：通过数值积分（如龙格-库塔法）直接观察相空间轨迹。2.**摄动法**：对弱非线性系统展开近似解析解。3.**谐波平衡法**：假设周期解形式，通过平衡方程系数求解。极限环理论在生态学、工程振荡电路等领域有广泛应用，其研究有助于理解系统的自持振荡行为。
