刘维尔定理是复分析中的一个重要结果，它描述了有界整函数的性质。该定理指出：如果一个函数在整个复平面上解析（即整函数）且有界，那么这个函数必为常数。这个定理由法国数学家约瑟夫·刘维尔于19世纪提出，在复变函数论中具有重要地位。证明刘维尔定理的基本思路如下：1.假设f(z)是一个有界的整函数，即存在M>0使得对所有z∈ℂ，|f(z)|≤M。2.根据柯西积分公式，f的导数可以表示为f'(a)=1/(2πi)∮_C[f(z)/(z-a)^2]dz，其中C是以a为中心、半径为R的圆周。3.利用积分估值定理，可以得到|f'(a)|≤M/R。4.令R→∞，由于M是固定的，我们得到|f'(a)|=0对所有a∈ℂ成立。5.因此f'(z)≡0，说明f(z)是常数。这个简洁而优美的证明展示了复分析中解析函数的强大性质，也体现了柯西积分公式的重要性。刘维尔定理在证明代数基本定理等许多重要结果中都有应用。
