Fatou引理以及Lebesgue控制收敛定理是实分析中的核心结果，在测度论与积分理论中具有重要作用。本文探讨这两个经典定理的推广形式及其在不同数学领域的应用。首先回顾Fatou引理的基本内容，它给出了非负可测函数序列积分下极限的不等式关系；其次阐述Lebesgue控制收敛定理，该定理在可积控制函数的条件下保证了极限与积分运算的可交换性。我们将展示这些定理在概率论、泛函分析以及偏微分方程等领域的扩展与应用，包括对无界函数序列和更一般测度空间的推广。通过具体例子说明这些推广结果如何简化传统证明并解决实际问题。本文旨在为相关研究方向的研究者提供系统的理论参考和应用指导。