Sobolev空间是数学分析中一类重要的函数空间，广泛应用于偏微分方程、变分法等领域。它由苏联数学家谢尔盖·索博列夫在20世纪30年代引入，用于研究微分方程的解的弱导数性质。Sobolev空间的基本定义如下：给定一个开集Ω⊂ℝⁿ、整数k≥0和实数1≤p≤∞，Sobolev空间W^{k,p}(Ω)包含所有在Ω上局部可积的函数u，使得u及其所有阶数不超过k的弱导数都属于L^p(Ω)空间。当p=2时，记作H^k(Ω)，这是一个希尔伯特空间。Sobolev空间的关键性质包括嵌入定理、紧性定理和迹定理等，这些性质建立了不同Sobolev空间之间以及Sobolev空间与其他函数空间的关系。Sobolev空间为研究偏微分方程弱解的存在性、唯一性和正则性提供了合适的框架。