正弦函数sinx和余弦函数cosx的展开式可以通过泰勒级数推导得到。泰勒级数是一种用多项式逼近函数的方法，适用于在某个点附近无限可微的函数。对于sinx，在x=0处展开的泰勒级数为：sinx=x-x³/3!+x⁵/5!-x⁷/7!+...+(-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+...对于cosx，在x=0处展开的泰勒级数为：cosx=1-x²/2!+x⁴/4!-x⁶/6!+...+(-1)ⁿx²ⁿ/(2n)!+...推导过程基于函数在x=0处的各阶导数值：-sinx的导数是cosx，cosx的导数是-sinx-在x=0处，sin0=0，cos0=1-因此sinx的各阶导数在x=0处的值呈现0,1,0,-1的循环模式-cosx的各阶导数在x=0处的值呈现1,0,-1,0的循环模式将这些导数值代入泰勒级数公式，即可得到上述展开式。这些展开式在数学分析、物理学和工程学中有广泛应用。
